Algorytmy i wzory

Wzory, których używa serwis, zapisane tak, jak są zaimplementowane. Numery „(Meeus n.m)” odnoszą się do książki J. Meeus, Astronomical Algorithms, wyd. 2 (1998). Obliczenia oznaczone „(astronomia)” pochodzą z portu biblioteki astronomia do PHP (app/lib/astro/). Pozostałe są w usługach serwisu (app/lib/). Długie tabele współczynników nie są tu powtórzone. Przy każdym temacie podany jest plik, który je zawiera.

Oznaczenia: kąty w radianach, o ile nie podano jednostki; $\mathrm{pmod}(x, 2\pi)$ sprowadza kąt do przedziału $[0, 2\pi)$; $\operatorname{atan2}(y, x)$ to arcus tangens dwóch argumentów.

1. Skale czasu

Dzień juliański z czasu uniksowego (Time.php). Czas uniksowy liczy sekundy UTC i pomija sekundy przestępne:

$$JD = \frac{t_\mathrm{unix}}{86400} + 2440587.5, \qquad MJD = JD - 2400000.5$$

Stulecia i tysiąclecia juliańskie od epoki J2000.0 (astronomia, Meeus 12.1, 22.1):

$$T = \frac{JDE - 2451545.0}{36525}, \qquad \tau = \frac{T}{10}$$

Czas dynamiczny. $JDE = JD + \Delta T / 86400$. Poprawka ΔT w sekundach zależy od roku dziesiętnego $y$ (astronomia AstroDeltaT, dane w app/data/deltat.php):

Serwis przyjmuje $y = 2000 + (JD - 2451545)/365.25$. Z JDE do JD wraca jednym krokiem tego samego wzoru.

Epoka juliańska: $J = 2000 + (JDE - 2451545)/365.25$.

2. Czas gwiazdowy

Średni czas gwiazdowy w Greenwich według IAU 1982 (astronomia AstroSidereal, Meeus 12.2). Niech $JD_0$ będzie dniem juliańskim o poprzedzającej godzinie 0h UT, $f$ ułamkiem doby, który od niej upłynął, a $T_0$ wartością $T$ dla $JD_0$:

$$\theta_0 = 24110.54841 + 8640184.812866\,T_0 + 0.093104\,T_0^2 - 0.0000062\,T_0^3 + 1.00273790935 \cdot 86400\,f \quad [\mathrm{s}]$$

Prawdziwy czas gwiazdowy dodaje równanie punktów równonocy $\Delta\psi\cos\varepsilon$ (w sekundach czasu: kąt w sekundach łuku dzielony przez 15). Czasy lokalne: $\mathrm{LMST} = \mathrm{GMST} + \lambda/15^\circ$ godzin oraz $\mathrm{LAST} = \mathrm{GAST} + \lambda/15^\circ$, gdzie długość geograficzna $\lambda$ jest dodatnia na wschód.

3. Nutacja i nachylenie ekliptyki

Argumenty podstawowe w stopniach (astronomia AstroNutation, Meeus 22):

$$\begin{aligned} D &= 297.85036 + 445267.111480\,T - 0.0019142\,T^2 + T^3/189474 \\ M &= 357.52772 + 35999.050340\,T - 0.0001603\,T^2 - T^3/300000 \\ M' &= 134.96298 + 477198.867398\,T + 0.0086972\,T^2 + T^3/56250 \\ F &= 93.27191 + 483202.017538\,T - 0.0036825\,T^2 + T^3/327270 \\ \Omega &= 125.04452 - 1934.136261\,T + 0.0020708\,T^2 + T^3/450000 \end{aligned}$$

Nutacja w długości i w nachyleniu to suma po 63 wierszach tabeli 22.A Meeusa, ze współczynnikami w jednostkach 0.0001″:

$$\Delta\psi = \sum_i (S_i + S'_i T)\sin a_i, \qquad \Delta\varepsilon = \sum_i (C_i + C'_i T)\cos a_i, \qquad a_i = d_i D + m_i M + n_i M' + f_i F + \omega_i \Omega$$

Średnie i prawdziwe nachylenie ekliptyki (Meeus 22.2):

$$\varepsilon_0 = 23^\circ 26' 21.448'' - 46.815''\,T - 0.00059''\,T^2 + 0.001813''\,T^3, \qquad \varepsilon = \varepsilon_0 + \Delta\varepsilon$$

4. Przeliczenia współrzędnych

Z ekliptycznych na równikowe (Meeus 13.3, 13.4):

$$\alpha = \operatorname{atan2}(\sin\lambda\cos\varepsilon - \tan\beta\sin\varepsilon,\ \cos\lambda), \qquad \delta = \arcsin(\sin\beta\cos\varepsilon + \cos\beta\sin\varepsilon\sin\lambda)$$

Stałe paralaksy obserwatora na szerokości geodezyjnej $\varphi$ i wysokości $h$ w metrach (Observer.php, Meeus 11):

$$u = \arctan(0.99664719\tan\varphi), \quad \rho\sin\varphi' = 0.99664719\sin u + \frac{h}{6378140}\sin\varphi, \quad \rho\cos\varphi' = \cos u + \frac{h}{6378140}\cos\varphi$$

Poprawka topocentryczna (paralaksa dobowa, Meeus 40.2, 40.3). Tu $H = \theta_\mathrm{GAST} + \lambda - \alpha$ to kąt godzinny, a $\Delta$ odległość w AU:

$$\begin{aligned} \sin\pi &= \frac{\sin 8.794''}{\Delta} \\ \Delta\alpha &= \operatorname{atan2}(-\rho\cos\varphi'\sin\pi\sin H,\ \cos\delta - \rho\cos\varphi'\sin\pi\cos H) \\ \delta' &= \operatorname{atan2}\big((\sin\delta - \rho\sin\varphi'\sin\pi)\cos\Delta\alpha,\ \cos\delta - \rho\cos\varphi'\sin\pi\cos H\big), \qquad H' = H - \Delta\alpha \end{aligned}$$

Współrzędne horyzontalne, z azymutem liczonym od północy przez wschód (Meeus 13.5, 13.6 przesunięte o 180°):

$$h = \arcsin(\sin\varphi\sin\delta' + \cos\varphi\cos\delta'\cos H'), \qquad A = \operatorname{atan2}(\sin H',\ \cos H'\sin\varphi - \tan\delta'\cos\varphi) + 180^\circ$$

Refrakcja (Observer.php, wzór Saemundssona, Meeus 16.4). Wzór daje refrakcję w minutach łuku dla wysokości geometrycznej $h$ w stopniach:

$$R = \frac{1.02}{\tan\left(h + \dfrac{10.3}{h + 5.11}\right)}$$

Wysokość pozorna to $h + R$ dla $h \ge -1^\circ$. Między −1° a −3° wartość $R(-1^\circ)$ maleje liniowo do zera, żeby krzywe wysokości nie miały skoku. Poniżej −3° refrakcji się nie dodaje.

Odległość kątowa (postać haversine, dokładna także dla małych kątów):

$$d = 2\arcsin\sqrt{\sin^2\frac{\delta_2 - \delta_1}{2} + \cos\delta_1\cos\delta_2\sin^2\frac{\alpha_2 - \alpha_1}{2}}$$

Tego samego wzoru używa się dla par współrzędnych ekliptycznych $(\lambda, \beta)$ i horyzontalnych $(A, h)$.

5. Planety i Słońce z teorii VSOP87

Szeregi VSOP87B (astronomia AstroPlanetPosition, Meeus 32). Heliocentryczna długość $L$, szerokość $B$ (ekliptyka J2000) i promień wodzący $R$ (AU) mają postać

$$X = \sum_{n=0}^{5} \tau^n \sum_i A_{n,i}\cos(B_{n,i} + C_{n,i}\,\tau)$$

Serwis używa pełnych szeregów Bretagnona i Francou. Współczynniki są w plikach app/data/vsop87b-<planeta>.php.

Precesja do ekliptyki daty (Meeus 21.5, 21.7), gdzie $t$ to liczba stuleci juliańskich od J2000 do danej chwili:

$$\begin{aligned} \eta &= (47.0029'' - 0.03302''\,t + 0.000060''\,t^2)\,t \\ \Pi &= 174.876384^\circ - 869.8089''\,t + 0.03536''\,t^2 \\ p &= (5029.0966'' + 1.11113''\,t - 0.000006''\,t^2)\,t \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} A &= \cos\eta\cos\beta\sin(\Pi - \lambda) - \sin\eta\sin\beta, \qquad B = \cos\beta\cos(\Pi - \lambda), \\ C &= \cos\eta\sin\beta + \sin\eta\cos\beta\sin(\Pi - \lambda), \qquad \lambda' = p + \Pi - \operatorname{atan2}(A, B), \quad \beta' = \arcsin C \end{aligned}$$

Pozycja geocentryczna planety (Ephemeris.php, według Meeus 33). Pozycja heliocentryczna planety to $(L, B, R)$, a Ziemi $(L_0, B_0, R_0)$:

$$\begin{aligned} x &= R\cos B\cos L - R_0\cos B_0\cos L_0 \\ y &= R\cos B\sin L - R_0\cos B_0\sin L_0 \\ z &= R\sin B - R_0\sin B_0 \end{aligned} \qquad \Delta = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

Czas biegu światła to $\tau_\mathrm{l} = 0.0057755183\,\Delta$ doby (Meeus 33.3). Pozycję planety liczy się ponownie dla chwili $JDE - \tau_\mathrm{l}$, po czym $\lambda = \operatorname{atan2}(y, x)$ oraz $\beta = \operatorname{atan2}(z, \sqrt{x^2 + y^2})$.

Aberracja (astronomia AstroApparent, Meeus 23.2). Tu $\kappa = 20.49552''$, $\odot$ to prawdziwa długość Słońca, $e$ mimośród orbity Ziemi, a $\varpi = 102.93735^\circ + 1.71946^\circ T + 0.00046^\circ T^2$ długość jej peryhelium:

$$\Delta\lambda = \kappa\,\frac{e\cos(\varpi - \lambda) - \cos(\odot - \lambda)}{\cos\beta}, \qquad \Delta\beta = -\kappa\sin\beta\,\big(\sin(\odot - \lambda) - e\sin(\varpi - \lambda)\big)$$

Przejście do układu FK5 (Meeus 32.3), gdzie $\lambda' = \lambda - 1.397^\circ T - 0.00031^\circ T^2$:

$$\Delta\lambda_\mathrm{FK5} = -0.09033'' + 0.03916''(\cos\lambda' + \sin\lambda')\tan\beta, \qquad \Delta\beta_\mathrm{FK5} = 0.03916''(\cos\lambda' - \sin\lambda')$$

Pozycja pozorna: $\lambda_\mathrm{app} = \lambda + \Delta\lambda + \Delta\lambda_\mathrm{FK5} + \Delta\psi$ oraz $\beta_\mathrm{app} = \beta + \Delta\beta + \Delta\beta_\mathrm{FK5}$, przeliczone na $(\alpha, \delta)$ przy prawdziwym nachyleniu ekliptyki $\varepsilon$.

Słońce (astronomia AstroSolar, Meeus 25.9, 25.10). Pozycja geocentryczna to odwrócona pozycja heliocentryczna Ziemi, $\odot = L_0 + 180^\circ$, $\beta_\odot = -B_0$, z powyższą poprawką FK5. Długość pozorna dodaje nutację i aberrację:

$$\lambda_\mathrm{app} = \odot - 0.09033'' + \Delta\psi - \frac{20.4898''}{R_0}$$

Równanie czasu (astronomia AstroEqTime, Meeus 28.1, 28.2):

$$L_0 = 280.4664567^\circ + 360007.6982779^\circ\tau + 0.03032028^\circ\tau^2 + \frac{\tau^3}{49931} - \frac{\tau^4}{15300} - \frac{\tau^5}{2000000}$$

$$E = L_0 - 0.0057183^\circ - \alpha_\odot + \Delta\psi\cos\varepsilon$$

$E$ sprowadza się do przedziału $(-180^\circ, 180^\circ]$ i podaje w minutach ($1^\circ = 4$ min).

Punkty podsłoneczny i podksiężycowy: szerokość $= \delta$, długość $= \alpha - \theta_\mathrm{GAST}$ sprowadzona do $(-180^\circ, 180^\circ]$.

6. Dane fizyczne planet

Kąt fazowy i oświetlona część tarczy (astronomia AstroIllum, Meeus 41.1, 41.2). Tu $r$ to odległość planety od Słońca, $\Delta$ od Ziemi, a $R$ odległość Ziemi od Słońca:

$$\cos i = \frac{r^2 + \Delta^2 - R^2}{2 r \Delta}, \qquad k = \frac{1 + \cos i}{2}$$

Jasność wizualna według Astronomical Almanac 1984 (Meeus 41), z $i$ w stopniach:

Dla Saturna $B$ to saturnocentryczna szerokość Ziemi względem płaszczyzny pierścieni, a $\Delta U$ (w stopniach) różnica saturnocentrycznych długości Słońca i Ziemi (Meeus 45, astronomia AstroSaturnRing). Słońcu przypisano $V = -26.74$.

Średnica kątowa (Meeus 55): półśrednica $s = s_0/\Delta$, gdzie $s_0$ to półśrednica w odległości 1 AU (Słońce 959.63″, Merkury 3.36″, Wenus 8.41″, Mars 4.68″, Jowisz 98.44″, Saturn 82.73″, Uran 35.02″, Neptun 33.50″). Podawana średnica to $2s$.

Elongacja: $\psi$ to odległość kątowa planety od Słońca. Ma znak dodatni (na wschód od Słońca, widoczność wieczorna), gdy $\mathrm{pmod}(\lambda - \odot, 2\pi) < \pi$.

7. Księżyc

Pozycja (astronomia AstroMoonPosition, Meeus 47; po 60 wyrazów z tabel 47.A i 47.B jest w tym pliku). Argumenty w stopniach:

$$\begin{aligned} L' &= 218.3164477 + 481267.88123421\,T - 0.0015786\,T^2 + T^3/538841 - T^4/65194000 \\ D &= 297.8501921 + 445267.1114034\,T - 0.0018819\,T^2 + T^3/545868 - T^4/113065000 \\ M &= 357.5291092 + 35999.0502909\,T - 0.0001536\,T^2 + T^3/24490000 \\ M' &= 134.9633964 + 477198.8675055\,T + 0.0087414\,T^2 + T^3/69699 - T^4/14712000 \\ F &= 93.2720950 + 483202.0175233\,T - 0.0036539\,T^2 - T^3/3526000 + T^4/863310000 \\ A_1 &= 119.75 + 131.849\,T, \qquad A_2 = 53.09 + 479264.290\,T, \qquad A_3 = 313.45 + 481266.484\,T \\ E &= 1 - 0.002516\,T - 0.0000074\,T^2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \Sigma_l &= \sum_i l_i E^{\lvert m_i\rvert}\sin(d_i D + m_i M + m'_i M' + f_i F) + 3958\sin A_1 + 1962\sin(L' - F) + 318\sin A_2 \\ \Sigma_r &= \sum_i r_i E^{\lvert m_i\rvert}\cos(d_i D + m_i M + m'_i M' + f_i F) \\ \Sigma_b &= \sum_i b_i E^{\lvert m_i\rvert}\sin(d_i D + m_i M + m'_i M' + f_i F) - 2235\sin L' + 382\sin A_3 \\ &\quad + 175\sin(A_1 - F) + 175\sin(A_1 + F) + 127\sin(L' - M') - 115\sin(L' + M') \end{aligned}$$

$$\lambda = L' + \Sigma_l \cdot 10^{-6\,\circ}, \qquad \beta = \Sigma_b \cdot 10^{-6\,\circ}, \qquad \Delta = 385000.56 + \Sigma_r/1000\ \mathrm{km}$$

Długość pozorna dodaje nutację: $\lambda_\mathrm{app} = \lambda + \Delta\psi$ (Ephemeris.php).

Kąt fazowy i oświetlona część tarczy (SkyService.php, Meeus 48.2, 48.3, 48.1). Tu $\psi$ to geocentryczna elongacja Księżyca od Słońca, a $R$ i $\Delta$ to odległości Słońca i Księżyca w km:

$$i = \operatorname{atan2}(R\sin\psi,\ \Delta - R\cos\psi), \qquad k = \frac{1 + \cos i}{2}$$

Kąt pozycyjny jasnego brzegu (Meeus 48.5), liczony od północy przez wschód:

$$\chi = \operatorname{atan2}\big(\cos\delta_\odot\sin(\alpha_\odot - \alpha),\ \sin\delta_\odot\cos\delta - \cos\delta_\odot\sin\delta\cos(\alpha_\odot - \alpha)\big)$$

Przeglądarka obraca rysunek fazy o $\chi - q$, gdzie $q$ to kąt paralaktyczny (Meeus 14.1). Dzięki temu na rysunku zenit jest u góry:

$$q = \operatorname{atan2}\big(\sin H,\ \tan\varphi\cos\delta - \sin\delta\cos H\big)$$

Inne wielkości dla Księżyca:

• Jasność: $V = -12.73 + 0.026\lvert i\rvert + 4\cdot 10^{-9}\, i^4$, z $i$ w stopniach.

• Wiek: $JDE$ minus $JDE$ poprzedniego nowiu (rozdział 9).

• Numer lunacji Browna: $\mathrm{BLN} = k + 953$, gdzie $k$ to numer lunacji Meeusa poprzedniego nowiu.

• Nazwa fazy wynika z $E = \mathrm{pmod}(\lambda_\mathrm{K} - \odot, 360^\circ)$:

  Zakres $E$	Faza
  $< 7^\circ$ lub $\ge 353^\circ$	nów
  $7^\circ$–$83^\circ$	przybywający sierp
  $83^\circ$–$97^\circ$	pierwsza kwadra
  $97^\circ$–$173^\circ$	przybywający garb
  $173^\circ$–$187^\circ$	pełnia
  $187^\circ$–$263^\circ$	ubywający garb
  $263^\circ$–$277^\circ$	ostatnia kwadra
  $277^\circ$–$353^\circ$	ubywający sierp

8. Wschód, górowanie, zachód i zmierzch

Poszukiwanie obejmuje lokalną dobę kalendarzową $[t_0, t_1)$ chwili odniesienia (23 lub 25 godzin w dniu zmiany czasu) (SkyService.php).

1. Pozorne geocentryczne $(\alpha, \delta, \Delta)$ każdego ciała liczy się w węzłach co 3 godziny, od 3 godzin przed $t_0$ do 3 godzin po $t_1$. Rektascensję „rozwija się” przez przejście 0/360°.

2. Między węzłami wartości interpoluje się 4-punktowym wzorem Lagrange'a z węzłów $t_{j-1} \ldots t_{j+2}$ wokół $t$:

   $$f(t) = \sum_{j} f_j \prod_{m \ne j} \frac{t - t_m}{t_j - t_m}$$

3. Wschód i zachód to miejsca zerowe funkcji $g(t) = h_\mathrm{geo}(t) - h_0$, gdzie $h_\mathrm{geo}$ to geometryczna wysokość geocentryczna. Wysokości standardowe (Meeus 15):

   Ciało lub zjawisko	$h_0$
   Słońce	$-0.8333^\circ$
   Planety	$-0.5667^\circ$
   Księżyc	$0.7275\,\pi - 0.5667^\circ$, $\pi = \arcsin(6378.14/\Delta_\mathrm{km})$
   Zmierzch cywilny	$-6^\circ$
   Zmierzch żeglarski	$-12^\circ$
   Zmierzch astronomiczny	$-18^\circ$

   Funkcję $g$ próbkuje się co 600 s. Zmianę znaku zawęża się 11 krokami bisekcji, do około 0.3 s. Wschód to pierwsze przejście w górę, a zachód pierwsze przejście w dół. Dla zmierzchów świt to pierwsze przejście w górę, a zmierzch ostatnie przejście w dół.

4. Górowanie to miejsce zerowe kąta godzinnego $H \in (-\pi, \pi]$ przechodzącego od wartości ujemnych do dodatnich.

5. Długość dnia to $t_\mathrm{z} - t_\mathrm{w}$. Jeśli w danej dobie Słońce zachodzi przed wschodem, jest to $(t_\mathrm{z} - t_0) + (t_1 - t_\mathrm{w})$. W dniu polarnym to długość całej lokalnej doby, a w nocy polarnej 0.

Krzywe wysokości korzystają z tych samych interpolowanych pozycji, z poprawką topocentryczną i refrakcją.

9. Fazy Księżyca

(astronomia AstroMoonPhase, Meeus 49.) Numer lunacji to $k$, przy czym $k = 0$ to nów z 6 stycznia 2000. Nów odpowiada całkowitemu $k$, pierwsza kwadra $k + 0.25$, pełnia $k + 0.5$, a ostatnia kwadra $k + 0.75$. Wtedy $T = k/1236.85$, a średni moment fazy to

$$JDE_0 = 2451550.09766 + 29.530588861\,k + 0.00015437\,T^2 - 0.000000150\,T^3 + 0.00000000073\,T^4$$

Prawdziwy moment fazy dodaje wyrazy okresowe zależne od $M$, $M'$, $F$, $\Omega$ i $E$ (Meeus 49.4–49.9):

• 25 wyrazów dla nowiu i pełni, z osobnymi zestawami współczynników, np. $-0.40720\sin M'$ dla nowiu;
• 25 wyrazów dla kwadr;
• 14 argumentów planetarnych $A_1 \ldots A_{14}$;
• tylko dla kwadr $\pm W$: $+$ dla pierwszej, $-$ dla ostatniej kwadry.

$$W = 0.00306 - 0.00038\,E\cos M + 0.00026\cos M' - 0.00002\cos(M' - M) + 0.00002\cos(M' + M) + 0.00002\cos 2F$$

Serwis wywołuje te funkcje z $y = 2000 + k/12.3685$, co wybiera dokładnie lunację $k$ (MoonPhases.php).

10. Równonoce i przesilenia

(astronomia AstroSolstice, Meeus 27.) Przybliżenie początkowe daje wielomian z tabeli 27.B Meeusa w zmiennej $Y = (y - 2000)/1000$. Iteruje się je, dopóki poprawka nie spadnie poniżej $5\cdot 10^{-6}$ doby:

$$JDE \leftarrow JDE + 58\sin(\lambda_0 - \lambda_\odot(JDE))$$

Tu $\lambda_0$ wynosi 0°, 90°, 180° lub 270°, a $\lambda_\odot$ to pozorna długość Słońca z VSOP87.

11. Perygeum i apogeum Księżyca

(astronomia AstroApsis, Meeus 50.) Dla perygeum $k$ jest liczbą całkowitą, dla apogeum $k + 0.5$, $T = k/1325.55$, a średni moment to

$$JDE_0 = 2451534.6698 + 27.55454989\,k - 0.0006691\,T^2 - 0.000001098\,T^3 + 0.0000000052\,T^4$$

Czas i równikowa paralaksa horyzontalna $\pi$ dostają poprawki okresowe z tabel 50.A i 50.B Meeusa. Odległość to $\Delta = 6378.137\ \mathrm{km}/\sin\pi$. Serwis podaje $y = 1999.97 + k/13.2555$.

12. Zaćmienia

(astronomia AstroEclipse, Meeus 54.) Dla lunacji $k$ (całkowitej dla zaćmień Słońca, $k + 0.5$ dla zaćmień Księżyca) mamy $T = k/1236.85$ oraz

$$F = 160.7108^\circ + 390.67050284^\circ k - 0.0016118^\circ T^2 - 0.00000227^\circ T^3 + 0.000000011^\circ T^4$$

Zaćmienie nie jest możliwe, gdy $\lvert\sin F\rvert > 0.36$. W przeciwnym razie moment maksimum to średnia faza z poprawkami z równania 54.1 Meeusa, przy $F_1 = F - 0.02665^\circ\sin\Omega$, a dalej

$$\begin{aligned} P &= 0.2070\,E\sin M + 0.0024\,E\sin 2M - 0.0392\sin M' + 0.0116\sin 2M' - 0.0073\,E\sin(M' + M) \\ &\quad + 0.0067\,E\sin(M' - M) + 0.0118\sin 2F_1 \\ Q &= 5.2207 - 0.0048\,E\cos M + 0.0020\,E\cos 2M - 0.3299\cos M' - 0.0060\,E\cos(M' + M) + 0.0041\,E\cos(M' - M) \\ W &= \lvert\cos F_1\rvert, \qquad \gamma = (P\cos F_1 + Q\sin F_1)(1 - 0.0048\,W) \\ u &= 0.0059 + 0.0046\,E\cos M - 0.0182\cos M' + 0.0004\cos 2M' - 0.0005\cos(M + M') \end{aligned}$$

$\gamma$ to najmniejsza odległość osi cienia od środka Ziemi, a $u$ promień stożka cienia w płaszczyźnie podstawowej, oba w promieniach równikowych Ziemi.

Zaćmienia Słońca. Nie ma zaćmienia, gdy $\lvert\gamma\rvert > 1.5433 + u$. W przeciwnym razie:

Wielkość fazy zaćmienia częściowego (Meeus 54.2):

$$\mathrm{mag} = \frac{1.5433 + u - \lvert\gamma\rvert}{0.5461 + 2u}$$

Dla zaćmień centralnych i niecentralnych całkowitych lub obrączkowych serwis podaje stosunek średnic kątowych Księżyca i Słońca widzianych z punktu Ziemi najbliższego osi cienia (Eclipses.php):

$$\mathrm{mag} = \frac{\arcsin\big(1737.4/(\Delta_\mathrm{K} - 6378.14\sqrt{1 - \gamma^2})\big)} {\arcsin(696000/\Delta_\odot)} \qquad (\mathrm{km})$$

Lokalny przebieg zaćmienia Słońca (Eclipses.php) wyznacza się numerycznie w oknie ±4 h od maksimum. Topocentryczną odległość środków tarcz $d$ liczy się ze współrzędnych horyzontalnych obu ciał. Półśrednice to

$$s_\odot = \arcsin\frac{696000}{\Delta_\odot}, \qquad s_\mathrm{K} = \arcsin\frac{1737.4}{\Delta_\mathrm{K} - 6378.14\sin h_\mathrm{K}}$$

a lokalna wielkość fazy

$$m(t) = \frac{s_\odot + s_\mathrm{K} - d}{2 s_\odot}$$

• Maksimum znajduje się metodą złotego podziału, a początek i koniec to miejsca zerowe $m(t)$.
• Zaćmienie jest widoczne, jeśli geometryczna wysokość Słońca przekracza −0.8333° w jakiejkolwiek chwili między początkiem a końcem.
• Zakrytą część tarczy Słońca daje pole soczewki, w której nakładają się obie tarcze:

$$\begin{aligned} \mathrm{obsc} = \frac{1}{\pi s_\odot^2}\Big[\, &s_\odot^2\arccos\frac{d^2 + s_\odot^2 - s_\mathrm{K}^2}{2 d s_\odot} + s_\mathrm{K}^2\arccos\frac{d^2 + s_\mathrm{K}^2 - s_\odot^2}{2 d s_\mathrm{K}} \\ &- \tfrac12\sqrt{(-d + s_\odot + s_\mathrm{K})(d + s_\odot - s_\mathrm{K})(d - s_\odot + s_\mathrm{K}) (d + s_\odot + s_\mathrm{K})}\,\Big] \end{aligned}$$

Wzór dotyczy częściowego nałożenia tarcz. Gdy jedna tarcza leży w całości wewnątrz drugiej, zakryta część wynosi 1, jeśli Księżyc jest większy, a w przeciwnym razie $(s_\mathrm{K}/s_\odot)^2$.

Zaćmienia Księżyca (Meeus 54.3, 54.4). Promień półcienia to $\rho = 1.2848 + u$, a promień cienia $\sigma = 0.7403 - u$. Wielkości fazy w cieniu (U) i w półcieniu (P) to:

$$\mathrm{mag}_\mathrm{U} = \frac{1.0128 - u - \lvert\gamma\rvert}{0.545}, \qquad \mathrm{mag}_\mathrm{P} = \frac{1.5573 + u - \lvert\gamma\rvert}{0.545}$$

Zaćmienie jest całkowite, gdy wielkość fazy w cieniu przekracza 1, częściowe, gdy przekracza 0, i półcieniowe, gdy nieujemna jest wielkość fazy w półcieniu. W pozostałych przypadkach zaćmienia nie ma. Przy $n = 0.5458 + 0.04\cos M'$ (promienie Ziemi na godzinę) połowy czasów trwania faz półcieniowej (P), cieniowej (U) i całkowitej (C) w dobach to

$$s_\mathrm{P} = \frac{\sqrt{(1.5573 + u)^2 - \gamma^2}}{24\,n}, \quad s_\mathrm{U} = \frac{\sqrt{(1.0128 - u)^2 - \gamma^2}}{24\,n}, \quad s_\mathrm{C} = \frac{\sqrt{(0.4678 - u)^2 - \gamma^2}}{24\,n}$$

Kontakty to $P_1, P_4 = t_\mathrm{max} \mp s_\mathrm{P}$, $U_1, U_4 = t_\mathrm{max} \mp s_\mathrm{U}$ oraz $U_2, U_3 = t_\mathrm{max} \mp s_\mathrm{C}$. Lokalną widoczność sprawdza się, próbkując co 5 minut wysokość Księżyca z refrakcją w trakcie fazy cieniowej, a przy zaćmieniu półcieniowym w trakcie fazy półcieniowej.

13. Zjawiska planetarne i zbliżenia

(EventScan.php.) Geometryczne pozycje geocentryczne z VSOP87, bez czasu biegu światła i aberracji, liczy się codziennie przez 375 dni. Kandydatów zawęża się potem pełnymi pozycjami pozornymi z rozdziału 5:

Miejsca zerowe zawęża się metodą regula falsi w wariancie Illinois:

$$c = \frac{a f(b) - b f(a)}{f(b) - f(a)}$$

Gdy ten sam koniec przedziału zostaje zachowany dwa razy z rzędu, jego wartość funkcji dzieli się na pół. Iteracja kończy się, gdy przedział jest krótszy niż $10^{-5}$ doby.

Ekstrema zawęża się metodą złotego podziału wokół próbki $t$ ($\pm 1$ doba; $\pm 2$ godziny dla Księżyca), ze współczynnikiem $(\sqrt5 - 1)/2$ i tolerancją $10^{-4}$ doby. Różnice długości bierze się modulo $2\pi$ w przedziale $(-\pi, \pi]$.

14. Strefa czasowa ze współrzędnych

(TimeZoneLookup.php, port biblioteki tz-lookup.) Kula ziemska jest podzielona na siatkę 48 × 24 komórek, każda o boku 7.5°. Komórka zawiera dwuznakowy kod: albo bezpośrednio numer strefy, albo węzeł drzewa czwórkowego. Każdy węzeł dzieli się na 2 × 2 części, a położenie wewnątrz węzła, podwajane w każdym kroku, wybiera część, aż do liścia z numerem strefy. Liście zawierają nazwy stref IANA wyznaczone z danych timezone-boundary-builder. Na morzu są to strefy żeglarskie Etc/GMT±n. Przesunięcie względem UTC, skrót i informację o czasie letnim dla danej chwili podaje potem baza stref czasowych PHP.

15. Najbliższa miejscowość

(Places.php, dane GeoNames z paczki cities.json.) Około 171 tysięcy miejscowości jest podzielonych na kafle 10° × 10°. Dla punktu $(\varphi, \lambda)$ wczytuje się kafle pokrywające prostokąt $\pm 30\ \mathrm{km}/111\ \mathrm{km}$ w szerokości i $\pm 30/(111\cos\varphi)$ w długości, a odległość liczy się wzorem haversine na kuli o promieniu 6371 km:

$$s = 2R\arcsin\sqrt{\sin^2\frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} + \cos\varphi_1\cos\varphi_2\sin^2\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{2}}$$

Wynikiem jest najbliższa miejscowość w promieniu 30 km. Strona dopisuje odległość, gdy przekracza 3 km, a poza Polską także polską nazwę kraju z przeglądarkowego Intl.DisplayNames.